2. Решить систему по формулам Крамера: \(\begin{cases}x+y+z=4,\\x+2y+3z=7,\\x+y+5z=8.\end{cases}\)

Матрица коэффициентов \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&1&5\end{pmatrix}\). Её определитель:

\(\Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&1&5\end{vmatrix}=1(10-3)-1(5-3)+1(1-2)=4\).

Заменяем соответствующий столбец столбцом свободных членов \((4,7,8)^{T}\):

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}4&1&1\\7&2&3\\8&1&5\end{vmatrix}=4(10-3)-(35-24)+(7-16)=8\).

\(\Delta_y=\begin{vmatrix}1&4&1\\1&7&3\\1&8&5\end{vmatrix}=(35-24)-4(5-3)+(8-7)=4\).

\(\Delta_z=\begin{vmatrix}1&1&4\\1&2&7\\1&1&8\end{vmatrix}=(16-7)-(8-7)+4(1-2)=4\).

По формулам Крамера: \(x=\Delta_x/\Delta=2\), \(y=\Delta_y/\Delta=1\), \(z=\Delta_z/\Delta=1\).

Ответ: \((x,y,z)=(2,1,1)\).