2. Решите неравенство: 2) tg(5x + π/3) > √2/2

Краткая запись:

• tg(5x + π/3) > √2/2

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим значение y, для которого tg(y) = √2/2. Это y = arctg(√2/2) + πn, где n ∈ ℤ. (arctan(√2/2) — это угол, тангенс которого равен √2/2. Точное значение в градусах или радианах может быть не стандартным).
2. Шаг 2: Функция тангенса возрастает на каждом интервале своей области определения. Неравенство tg(y) > √2/2 выполняется, когда y находится правее точки, где tg(y) = √2/2, в пределах одного периода.
3. Шаг 3: Учитывая периодичность тангенса (период π), условие tg(y) > √2/2 выполняется для:
• arctg(√2/2) + πn < y < π/2 + πn, где n ∈ ℤ. (Здесь π/2 — точка, где тангенс не определен и стремится к бесконечности).
4. Шаг 4: Заменяем y на 5x + π/3:
• arctg(√2/2) + πn < 5x + π/3 < π/2 + πn
5. Шаг 5: Вычитаем π/3 из всех частей неравенства:
• arctg(√2/2) - π/3 + πn < 5x < π/2 - π/3 + πn
• arctg(√2/2) - π/3 + πn < 5x < π/6 + πn
6. Шаг 6: Делим все части на 5:
• (arctg(√2/2) - π/3)/5 + πn/5 < x < (π/6 + πn)/5
• (arctg(√2/2) - π/3)/5 + πn/5 < x < π/30 + πn/5

Ответ: x ∈ ((arctg(√2/2) - π/3)/5 + πn/5; π/30 + πn/5), где n ∈ ℤ.