4. Решите уравнение √3sinx - cosx = 2cos7x.

Краткая запись:

• √3 sinx - cosx = 2 cos(7x)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разделим обе части уравнения на 2:
• (√3/2) sinx - (1/2) cosx = cos(7x)
2. Шаг 2: Представим (√3/2) как cos(π/6) и (1/2) как sin(π/6). Тогда левая часть станет:
• cos(π/6) sinx - sin(π/6) cosx = cos(7x)
3. Шаг 3: Применим формулу синуса разности: sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ. В нашем случае, sin(x - π/6) = sinxcos(π/6) - cosxsin(π/6). Таким образом:
• sin(x - π/6) = cos(7x)
4. Шаг 4: Представим cos(7x) через синус, используя равенство cos(α) = sin(π/2 - α):
• sin(x - π/6) = sin(π/2 - 7x)
5. Шаг 5: Приравняем аргументы, учитывая два случая для равенства синусов:
• Случай 1: Аргументы равны с точностью до 2πn.
• x - π/6 = π/2 - 7x + 2πn
• 8x = π/2 + π/6 + 2πn
• 8x = 3π/6 + π/6 + 2πn
• 8x = 4π/6 + 2πn
• 8x = 2π/3 + 2πn
• x = 2π/24 + 2πn/8
• x = π/12 + πn/4
6. • Случай 2: Аргументы в сумме дают π с точностью до 2πk.
   • x - π/6 = π - (π/2 - 7x) + 2πk
   • x - π/6 = π - π/2 + 7x + 2πk
   • x - π/6 = π/2 + 7x + 2πk
   • -6x = π/2 + π/6 + 2πk
   • -6x = 3π/6 + π/6 + 2πk
   • -6x = 4π/6 + 2πk
   • -6x = 2π/3 + 2πk
   • x = -2π/18 - 2πk/6
   • x = -π/9 - πk/3

Ответ: x = π/12 + πn/4; x = -π/9 - πk/3, где n, k ∈ ℤ.