2. Решите неравенство: а) $(x+2)(x-8)(x+5)>0$; б) $(x-5)^2(x-6)(8-x)\ge0$; в) $\frac{x}{x-3}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2-3x}\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите неравенство: а) $(x+2)(x-8)(x+5)>0$; б) $(x-5)^2(x-6)(8-x)\ge0$; в)…$ Фото задания

2. Решите неравенство: а) $(x+2)(x-8)(x+5)>0$; б) $(x-5)^2(x-6)(8-x)\ge0$; в) $\frac{x}{x-3}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2-3x}\ge0$.

Accepted Answer

а) Нули множителей: $-5$, $-2$, $8$. Знак произведения меняется при переходе через каждый простой корень; оно положительно на интервалах $(-5,-2)$ и $(8,+\infty)$.

б) Множитель $(x-5)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=5$. Для остальных значений знак произведения определяют множители $(x-6)(8-x)$: они дают неотрицательное значение при $x\in[6,8]$. Следовательно, учитываем также отдельный ноль $x=5$.

в) ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne3$. Приведём к общему знаменателю $x(x-3)$:

\[\frac{x^2+2(x-3)-2}{x(x-3)}\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{(x+4)(x-2)}{x(x-3)}\ge0.\]

Критические точки: $-4$, $0$, $2$, $3$. По знакам на интервалах получаем положительные значения на $( -\infty,-4]$, $(0,2]$ и $(3,+\infty)$. Точки $0$ и $3$ исключены из ОДЗ.

Ответ: а) $(-5,-2)\cup(8,+\infty)$; б) $\{5\}\cup[6,8]$; в) $( -\infty,-4]\cup(0,2]\cup(3,+\infty)$.

2. Решите неравенство: а) \((x+2)(x-8)(x+5)>0\); б) \((x-5)^2(x-6)(8-x)\ge0\); в) \(\frac{x}{x-3}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2-3x}\ge0\).

Ответ: