2. Решите показательное уравнение: 2^2x+1 - 5 ⋅ 2^x+2 + 2 = 0

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя свойства степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \): \( 2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x \cdot 2^2 + 2 = 0 \) \( 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 4 \cdot 2^x + 2 = 0 \) \( 2 \cdot (2^x)^2 - 20 \cdot 2^x + 2 = 0 \).
2. Введём замену: пусть \( t = 2^x \). Так как \( 2^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).
3. Уравнение примет вид: \( 2t^2 - 20t + 2 = 0 \).
4. Разделим всё на 2: \( t^2 - 10t + 1 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96 \).
6. Найдем корни \( t \): \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6} \].
7. Оба корня \( 5 + 2\sqrt{6} \) и \( 5 - 2\sqrt{6} \) положительны, так как \( 5 = \sqrt{25} \) и \( 2\sqrt{6} = \sqrt{24} \), поэтому \( 5 - 2\sqrt{6} > 0 \).
8. Вернёмся к замене \( 2^x = t \):
   • Случай 1: \( 2^x = 5 + 2\sqrt{6} \). Тогда \( x = \log_2(5 + 2\sqrt{6}) \).
   • Случай 2: \( 2^x = 5 - 2\sqrt{6} \). Тогда \( x = \log_2(5 - 2\sqrt{6}) \).

Ответ: \( x = \log_2(5 \pm 2\sqrt{6}) \)