5. Решите показательное уравнение: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-2} = \left(\frac{9}{4}\right)^{x+1}\)

Решение:

1. Заметим, что \( \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \).
2. Подставим это в уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-2} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^{x+1} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2(x+1)} \]
4. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: \( 2x-2 = -2(x+1) \).
5. Раскроем скобки: \( 2x-2 = -2x-2 \).
6. Решим линейное уравнение: \( 2x + 2x = -2 + 2 \) \( 4x = 0 \) \( x = 0 \).

Ответ: x = 0