2. Упростите выражение: \(\frac{27^{0.4} \cdot 9^{1.2} \cdot 3^{0.1}}{81^{0.5} \cdot 243^{0.2}}\)

Решение:

1. Приведём все числа к основанию 3: \( 27 = 3^3 \), \( 9 = 3^2 \), \( 81 = 3^4 \), \( 243 = 3^5 \).
2. Подставим степени в выражение: \[ \frac{(3^3)^{0.4} \cdot (3^2)^{1.2} \cdot 3^{0.1}}{(3^4)^{0.5} \cdot (3^5)^{0.2}} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{3^{3 \cdot 0.4} \cdot 3^{2 \cdot 1.2} \cdot 3^{0.1}}{3^{4 \cdot 0.5} \cdot 3^{5 \cdot 0.2}} = \frac{3^{1.2} \cdot 3^{2.4} \cdot 3^{0.1}}{3^{2} \cdot 3^{1}} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ \frac{3^{1.2 + 2.4 + 0.1}}{3^{2+1}} = \frac{3^{3.7}}{3^3} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 3^{3.7 - 3} = 3^{0.7} \]

Ответ: 3^0.7