2. Решите систему уравнений $$\begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2} \\ \sin x + \sin y = -\sqrt{2} \end{cases}$$и запишите какие-либо три решения этой системы.

Решение:

Используем формулу суммы синусов: \( \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \).

1. Подставим \( x+y=\frac{\pi}{2} \) в формулу: \( \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{4} \).
2. \( \sin \frac{x+y}{2} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. Теперь подставим это значение во второе уравнение системы: \( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x-y}{2} = -\sqrt{2} \).
4. \( \sqrt{2} \cos \frac{x-y}{2} = -\sqrt{2} \).
5. \( \cos \frac{x-y}{2} = -1 \).
6. Это означает, что \( \frac{x-y}{2} = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
7. \( x-y = 2\pi + 4\pi k \).
8. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} \\ x-y = 2\pi + 4\pi k \end{cases} $$

9. Сложим уравнения: \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi + 4\pi k = \frac{5\pi}{2} + 4\pi k \).
10. \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \).
11. Вычтем второе уравнение из первого: \( 2y = \frac{\pi}{2} - (2\pi + 4\pi k) = \frac{\pi}{2} - 2\pi - 4\pi k = -\frac{3\pi}{2} - 4\pi k \).
12. \( y = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi k \).
13. Для получения трех решений подставим разные целые значения \( k \).

Три решения системы:

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{5\pi}{4} \), \( y = -\frac{3\pi}{4} \)
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \), \( y = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} \)
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} \), \( y = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \)

Ответ: \( \left( \frac{5\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} - 2\pi k \right), k \in \mathbb{Z} \). Три решения: \( \left( \frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4} \right), \left( \frac{13\pi}{4}; -\frac{11\pi}{4} \right), \left( -\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} \right) \).