4. Решите уравнение \(\sqrt{(x-2)(2x+5)}+2=x\)

Решение:

1. Выделим корень из уравнения: \( \sqrt{(x-2)(2x+5)} = x-2 \).
2. Для существования корня необходимо, чтобы \( x-2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2 \).
3. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (x-2)(2x+5) = (x-2)^2 \).
4. Перенесем все члены в одну сторону: \( (x-2)(2x+5) - (x-2)^2 = 0 \).
5. Вынесем общий множитель \( (x-2) \) за скобки: \( (x-2) [(2x+5) - (x-2)] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x-2) [2x+5-x+2] = 0 \).
7. \( (x-2) (x+7) = 0 \).
8. Получаем два возможных решения: \( x-2=0 \) или \( x+7=0 \).
9. \( x_1 = 2 \) или \( x_2 = -7 \).
10. Проверим найденные решения на соответствие условию \( x \geq 2 \).
11. \( x_1 = 2 \) удовлетворяет условию.
12. \( x_2 = -7 \) не удовлетворяет условию \( x \geq 2 \).
13. Проверим \( x = 2 \) подстановкой в исходное уравнение: \( \sqrt{(2-2)(2 \cdot 2+5)}+2=2 \) → \( \sqrt{0 \cdot 9}+2=2 \) → \( 0+2=2 \) → \( 2=2 \). Решение верное.

Ответ: \( 2 \).