5. В какой точке кривой y=e^{3x}-1 касательная параллельна прямой y=3x-5?

Решение:

Условие параллельности касательной и прямой означает, что их угловые коэффициенты равны.

1. Найдем производную функции \( y = e^{3x} - 1 \), которая является угловым коэффициентом касательной.
2. \( y' = \frac{d}{dx}(e^{3x} - 1) = e^{3x} · 3 = 3e^{3x} \).
3. Угловой коэффициент прямой \( y = 3x - 5 \) равен \( 3 \).
4. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой: \( 3e^{3x} = 3 \).
5. Разделим обе части на 3: \( e^{3x} = 1 \).
6. Чтобы решить это уравнение, вспомним, что любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1.
7. \( 3x = 0 \)
8. \( x = 0 \).
9. Теперь найдем значение \( y \) для этой точки, подставив \( x=0 \) в уравнение кривой: \( y = e^{3 \cdot 0} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0 \).
10. Таким образом, точка, в которой касательная параллельна прямой, имеет координаты \( (0; 0) \).

Ответ: \( (0; 0) \).