6. Какой наибольший объем может иметь цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 5\(\sqrt{3}\) дм?

Решение:

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Его диагональ \( d \) связана с высотой \( h \) и диаметром основания \( D = 2R \) соотношением \( d^2 = h^2 + D^2 \).
2. По условию, \( d = 5\sqrt{3} \) дм, значит \( d^2 = (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \).
3. \( h^2 + (2R)^2 = 75 \) → \( h^2 + 4R^2 = 75 \).
4. Объем цилиндра равен \( V = \pi R^2 h \).
5. Выразим \( R^2 \) через \( h \): \( 4R^2 = 75 - h^2 \) → \( R^2 = \frac{75 - h^2}{4} \).
6. Подставим \( R^2 \) в формулу объема: \( V(h) = \pi \frac{75 - h^2}{4} h = \frac{\pi}{4} (75h - h^3) \).
7. Чтобы найти наибольший объем, найдем производную \( V'(h) \) и приравняем ее к нулю.
8. \( V'(h) = \frac{\pi}{4} (75 - 3h^2) \).
9. Приравняем производную к нулю: \( \frac{\pi}{4} (75 - 3h^2) = 0 \) → \( 75 - 3h^2 = 0 \) → \( 3h^2 = 75 \) → \( h^2 = 25 \).
10. Так как высота \( h \) должна быть положительной, \( h = 5 \) дм.
11. Найдем \( R^2 \) при \( h=5 \): \( R^2 = \frac{75 - 5^2}{4} = \frac{75 - 25}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \).
12. Теперь найдем максимальный объем: \( V = \pi R^2 h = \pi \cdot 12.5 \cdot 5 = 62.5\pi \) дм³.

Ответ: \( 62.5\pi \) дм³.