2. Решите уравнение: а) \(|3-|x-4||=5\); б) \(|x-2|+|x-3|=2\); в) \(\left|\frac{1,6}{0,5x-2}\right|=48\).

а) Если модуль равен 5, то его выражение равно 5 или −5:

\(3-|x-4|=5\) невозможно, поскольку \(|x-4|=-2\).

\(3-|x-4|=-5\) ⇒ \(|x-4|=8\) ⇒ \(x-4=8\) или \(x-4=-8\).

Получаем \(x=12\) или \(x=-4\).

б) По неравенству треугольника \(|x-2|+|x-3|\ge |(x-2)-(x-3)|=1\). При \(2\le x\le3\) сумма равна \((x-2)+(3-x)=1\); вне этого промежутка она больше 1. Поэтому сумма не может быть равна 2? Проверим промежутки: при \(x\le2\) сумма \((2-x)+(3-x)=5-2x\), равна 2 при \(x=1,5\), что не удовлетворяет \(x\le2\) — удовлетворяет; при \(x\ge3\) сумма \((x-2)+(x-3)=2x-5\), равна 2 при \(x=3,5\), что удовлетворяет.

Ответ для б): \(x=1,5\) или \(x=3,5\).

в) Область допустимых значений: \(0,5x-2\ne0\), то есть \(x\ne4\).

\(\left|\frac{1,6}{0,5x-2}\right|=48\) ⇒ \(|0,5x-2|=\frac{1,6}{48}=\frac1{30}\).

Тогда \(0,5x-2=\frac1{30}\) или \(0,5x-2=-\frac1{30}\), откуда \(x=\frac{61}{15}\) или \(x=\frac{59}{15}\). Оба значения отличны от 4.

Ответ: а) \(x=-4, 12\); б) \(x=1,5; 3,5\); в) \(x=\frac{59}{15}, \frac{61}{15}\).