2. Решите уравнение: \[ \frac{5x + 2}{x - 1} = \frac{4x + 13}{x + 7} \]

Решение:

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{5x + 2}{x - 1} - \frac{4x + 13}{x + 7} = 0 \]
• \[ \frac{(5x + 2)(x + 7) - (4x + 13)(x - 1)}{(x - 1)(x + 7)} = 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

• \[ (5x^2 + 35x + 2x + 14) - (4x^2 - 4x + 13x - 13) = 0 \]
• \[ (5x^2 + 37x + 14) - (4x^2 + 9x - 13) = 0 \]
• \[ 5x^2 + 37x + 14 - 4x^2 - 9x + 13 = 0 \]
• \[ x^2 + 28x + 27 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

• \[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 784 - 108 = 676 \]
• \[ \sqrt{D} = 26 \]
• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-54}{2} = -27 \]

Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль:

• При x = -1, x - 1 = -2 \(
  eq\) 0, x + 7 = 6 \(
  eq\) 0
• При x = -27, x - 1 = -28 \(
  eq\) 0, x + 7 = -20 \(
  eq\) 0

Ответ: x = -1; x = -27