5. Первые 150 км дороги из города А в город В автомобиль проехал с определенной скоростью, а остаток 240 км — со скоростью 5 км/ч больше. Найдите начальную скорость автомобиля, если на весь путь от города А к городу В он потратил 5 часов.

Решение:

Пусть начальная скорость автомобиля равна \(v\) км/ч. Тогда время, за которое автомобиль проехал первые 150 км, равно \[ t_1 = \frac{150}{v} \] часов.

Скорость на остальном участке пути составила \(v + 5\) км/ч. Время, за которое автомобиль проехал оставшиеся 240 км, равно \[ t_2 = \frac{240}{v + 5} \] часов.

Общее время в пути составило 5 часов, то есть:

• \[ t_1 + t_2 = 5 \]
• \[ \frac{150}{v} + \frac{240}{v + 5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \[ v(v + 5) \] (при условии, что \[ v
eq 0 \] и \[ v
eq -5 \]):

• \[ 150(v + 5) + 240v = 5v(v + 5) \]
• \[ 150v + 750 + 240v = 5v^2 + 25v \]
• \[ 390v + 750 = 5v^2 + 25v \]
• \[ 5v^2 + 25v - 390v - 750 = 0 \]
• \[ 5v^2 - 365v - 750 = 0 \]

Разделим уравнение на 5:

• \[ v^2 - 73v - 150 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-73)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 5329 + 600 = 5929 \]
• \[ \sqrt{D} = 77 \]
• \[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 + 77}{2 \cdot 1} = \frac{150}{2} = 75 \]
• \[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 - 77}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень \[ v_2 = -2 \] не подходит.

Начальная скорость автомобиля равна 75 км/ч.

Ответ: 75 км/ч