4. Решите уравнение: \[ \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4} \]

Решение:

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \].

• \[ \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{(x - 2)(x + 2)} \]
• \[ \frac{x^2 - 2x - x + 2 + x^2 + 2x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{(x - 2)(x + 2)} \]
• \[ \frac{2x^2 - x + 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{(x - 2)(x + 2)} \]

Приравняем числители, при условии, что знаменатель не равен нулю (то есть \[ x
eq 2 \] и \[ x
eq -2 \]).

• \[ 2x^2 - x + 2 = 8 \]
• \[ 2x^2 - x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \]
• \[ \sqrt{D} = 7 \]
• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]

Проверяем найденные корни с условием, что \[ x
eq 2 \] и \[ x
eq -2 \].

• Корень \[ x_1 = 2 \] не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.
• Корень \[ x_2 = -1.5 \] подходит.

Ответ: x = -1.5