3. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} = 0 \]

Решение:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

• \[ x^2 + x - 6 = 0 \]
• Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
• \[ \sqrt{D} = 5 \]
• \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
• \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]

2. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях x:

• Знаменатель: \[ x^2 - x - 2 \]
• При x = 2: \[ 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 \]
• При x = -3: \[ (-3)^2 - (-3) - 2 = 9 + 3 - 2 = 10 \(
  eq\) 0 \]

Так как при x = 2 знаменатель обращается в ноль, это значение не является решением уравнения. Значение x = -3 является решением, поскольку числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Ответ: x = -3