2. Решите уравнение log0,1(x² – 8) – log0,1 2x = 0.

Задание 2. Решение логарифмического уравнения

Нам нужно решить уравнение: log0,1(x² – 8) – log0,1 2x = 0.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. x² – 8 > 0 => x² > 8 => x > √8 или x < -√8
2. 2x > 0 => x > 0

Объединяя эти условия, получаем x > √8 (приблизительно x > 2.828).

Теперь преобразуем уравнение:

1. Перенесём второй логарифм в правую часть:
   log0,1(x² – 8) = log0,1 2x
2. Так как основания логарифмов одинаковые (0,1), можем приравнять аргументы:
   x² – 8 = 2x
3. Приведём к квадратному уравнению:
   x² – 2x – 8 = 0
4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D = b² - 4ac):
   D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36
5. √D = 6
6. Найдем корни:
   x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
x₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь проверим, попадают ли корни в ОДЗ (x > √8).

x₁ = 4. Так как 4 > √8, этот корень подходит.

x₂ = -2. Так как -2 < √8 (и тем более -2 < 0), этот корень не подходит.

Ответ: 4.