5. Решите уравнение 6 · 4^x — 13 · 6^x + 6 · 9^x = 0.

Задание 5. Решение показательного уравнения

Нам нужно решить уравнение: 6 * 4x — 13 * 6x + 6 * 9x = 0.

Это однородное показательное уравнение. Чтобы решить его, разделим обе части уравнения на 6x (или 9x, или 4x). Давайте разделим на 6x.

(6 * 4x) / 6x - (13 * 6x) / 6x + (6 * 9x) / 6x = 0 / 6x

6 * (4/6)x - 13 + 6 * (9/6)x = 0

Упростим дроби:

6 * (2/3)x - 13 + 6 * (3/2)x = 0

Теперь заметим, что (3/2)x = ( (2/3)-1 )x = (2/3)-x = 1 / (2/3)x. Это не совсем удобно.

Давайте попробуем разделить на 9x, так как 9x = (32)x = (3x)2, а 6x = (2*3)x = 2x * 3x, и 4x = (22)x = (2x)2. Это выглядит как квадратное уравнение относительно (2/3)x.

Перепишем уравнение, используя 4x = (2x)2, 6x = 2x * 3x, 9x = (3x)2:

6 * (2x)2 - 13 * (2x * 3x) + 6 * (3x)2 = 0

Разделим обе части на (3x)2 (заметим, что 3x никогда не равно нулю):

6 * (2x / 3x)2 - 13 * (2x * 3x) / (3x)2 + 6 * (3x)2 / (3x)2 = 0

6 * (2/3)2x - 13 * (2/3)x + 6 = 0

Сделаем замену переменной: пусть t = (2/3)x. Тогда t2 = ((2/3)x)2 = (2/3)2x.

Уравнение примет вид:

6t² - 13t + 6 = 0

Решим это квадратное уравнение для t:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-13)² - 4 * 6 * 6 = 169 - 144 = 25.

√D = 5.

Найдем корни для t:

t₁ = (13 + 5) / (2 * 6) = 18 / 12 = 3/2

t₂ = (13 - 5) / (2 * 6) = 8 / 12 = 2/3

Теперь вернёмся к замене t = (2/3)x:

Случай 1: t₁ = 3/2

(2/3)x = 3/2

(2/3)x = (2/3)-1

Следовательно, x = -1.

Случай 2: t₂ = 2/3

(2/3)x = 2/3

Следовательно, x = 1.

Ответ: -1; 1.