4. Решить неравенство log6(7-2x)/(x+4) < 0.

Задание 4. Решение логарифмического неравенства

Нам нужно решить неравенство: log6((7-2x)/(x+4)) < 0.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положительным:
   (7-2x)/(x+4) > 0
2. Основание логарифма (6) больше 1, поэтому, когда мы приравниваем аргумент к значению 60, знак неравенства остаётся прежним.

Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма. Так как основание логарифма 6 > 1, то:

(7-2x)/(x+4) < 60

(7-2x)/(x+4) < 1

Шаг 2: Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю:

(7-2x)/(x+4) - 1 < 0

(7-2x - (x+4))/(x+4) < 0

(7-2x - x - 4)/(x+4) < 0

(3-3x)/(x+4) < 0

3(1-x)/(x+4) < 0

Разделим на 3 (знак не изменится):

(1-x)/(x+4) < 0

Шаг 3: Теперь решим это дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: 1 - x = 0 => x = 1

Знаменатель: x + 4 = 0 => x = -4

Расставим эти числа на числовой прямой и определим знаки интервалов:

   -  (-4)   +  (1)   -   

Нам нужен интервал, где дробь отрицательна (< 0). Это интервалы (-∞, -4) и (1, +∞).

Шаг 4: Теперь вернёмся к ОДЗ, которое мы определили в начале: (7-2x)/(x+4) > 0.

Решим это неравенство методом интервалов:

Числитель: 7 - 2x = 0 => 2x = 7 => x = 3.5

Знаменатель: x + 4 = 0 => x = -4

Расставим числа на числовой прямой:

   -  (-4)   +  (3.5)   -   

Нам нужен интервал, где дробь положительна (> 0). Это интервал (-4, 3.5).

Шаг 5: Теперь пересечём решения из Шага 3 и Шага 4:

Из Шага 3: (-∞, -4) ∪ (1, +∞)

Из Шага 4: (-4, 3.5)

Пересечение этих интервалов:

(1, 3.5)

Ответ: (1; 3.5).