2. Решите уравнения: а) $\cos\frac{x}{2}=-\frac{6}{5}$; б) $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; в) $3\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\sqrt{3}$; г) $\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите уравнения: а) $\cos\frac{x}{2}=-\frac{6}{5}$; б) $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Для действительных аргументов значения косинуса принадлежат отрезку $[-1;1]$, а $-\frac{6}{5}<-1$. Поэтому действительных решений нет.

б) Синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$ за период. Следовательно,

\[x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

в) Делим обе части на 3: $\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Тогда $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k$, откуда

\[x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

г) Делим на $\sqrt{3}$: $\operatorname{ctg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi k$, поэтому

\[x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\]

2. Решите уравнения: а) \(\cos\frac{x}{2}=-\frac{6}{5}\); б) \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\); в) \(3\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\sqrt{3}\); г) \(\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=1\).