5. Решите уравнение \(\sqrt{-x^2+9x+90}\cdot(2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x+2)=0\).

Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель, при этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Для корня требуется \(-x^2+9x+90\geq0\). Разложение даёт \(-(x-15)(x+6)\geq0\), то есть \(-6\leq x\leq15\). Корень равен нулю при \(x=-6\) или \(x=15\); оба значения подходят исходному уравнению.

Теперь решим уравнение для второго множителя. При \(\cos x=0\) он равен \(4\), поэтому корней с \(\cos x=0\) нет. При \(\cos x\ne0\) делим на \(\cos^2x\), используя \(\sin^2x+\cos^2x=1\):

\[2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3\operatorname{tg}^2x-5\operatorname{tg}x+1=0.\]

Решаем квадратное уравнение: \(\operatorname{tg}x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}\). С учётом области определения корня оставляем только значения из \([-6;15]\). Таким образом,

\[x=-6,\quad x=15,\quad x=\operatorname{arctg}\frac{5+\sqrt{13}}{6}+\pi k,\quad x=\operatorname{arctg}\frac{5-\sqrt{13}}{6}+\pi k,\]

где в двух последних семействах выбираются только целые \(k\), для которых соответствующее значение \(x\) принадлежит \([-6;15]\). Это точно задаёт все корни и учитывает область определения исходного выражения.