3. Решите уравнения: а) \(3\cos^2x-2\sin x-2=0\); б) \(5\sin^2x-3\sin x\cos x-2\cos^2x=0\).

а) Заменим \(\cos^2x\) на \(1-\sin^2x\):

\[3(1-\sin^2x)-2\sin x-2=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3\sin^2x+2\sin x-1=0.\]

Разложим квадратный трёхчлен: \((3\sin x-1)(\sin x+1)=0\). Поэтому \(\sin x=\frac{1}{3}\) или \(\sin x=-1\). Получаем

\[x=(-1)^k\arcsin\frac{1}{3}+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

б) При \(\cos x=0\) левая часть равна \(5\), поэтому такие значения не являются корнями. Делим уравнение на \(\cos^2x\) и обозначаем \(t=\operatorname{tg}x\):

\[5t^2-3t-2=0,\qquad (5t+2)(t-1)=0.\]

Отсюда \(\operatorname{tg}x=1\) или \(\operatorname{tg}x=-\frac{2}{5}\). Следовательно,

\[x=\frac{\pi}{4}+\pi k\quad\text{или}\quad x=-\operatorname{arctg}\frac{2}{5}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]