2. Решите уравнения: а) $(\log_2 x)^2-4\log_2 x+3=0$; б) $\log_3(3^x-8)=2-x$; в) $x^{\log_3 x-4}=\frac{1}{27}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите уравнения: а) $(\log_2 x)^2-4\log_2 x+3=0$; б) $\log_3(3^x-8)=2-x$; в) $x^{\log_3 x-4}=\frac{1}{27}$.$ Фото задания

2. Решите уравнения: а) $(\log_2 x)^2-4\log_2 x+3=0$; б) $\log_3(3^x-8)=2-x$; в) $x^{\log_3 x-4}=\frac{1}{27}$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$. Обозначим $t=\log_2 x$. Тогда $t^2-4t+3=0$, то есть $(t-1)(t-3)=0$. Получаем $t=1$ или $t=3$, откуда $x=2$ или $x=8$.

б) Область определения: $3^x-8>0$. Перейдём к показательной форме: $3^x-8=3^{2-x}$. Обозначим $u=3^x$, тогда $u-8=\frac9u$, или $u^2-8u-9=0$. Корни: $u=9$ и $u=-1$. Поскольку $u=3^x>0$ и по области определения $u>8$, подходит только $u=9$. Значит, $x=2$.

в) Область определения: $x>0$. Пусть $t=\log_3 x$, тогда $x=3^t$, а $\frac1{27}=3^{-3}$. Получаем $3^{t(t-4)}=3^{-3}$, откуда $t^2-4t+3=0$. Следовательно, $t=1$ или $t=3$, то есть $x=3$ или $x=27$.

Ответ: а) 2; 8; б) 2; в) 3; 27.

2. Решите уравнения: а) \((\log_2 x)^2-4\log_2 x+3=0\); б) \(\log_3(3^x-8)=2-x\); в) \(x^{\log_3 x-4}=\frac{1}{27}\).

Ответ: