5. Решите систему \(\begin{cases}x^{\log_3 y}+2y^{\log_3 x}=27,\\ \log_3 y-\log_3 x=1.\end{cases}\)

Из второго уравнения следует \(\log_3(y/x)=1\), поэтому \(y=3x\), где \(x>0\).

Заметим, что \(x^{\log_3 y}=3^{(\log_3 x)(\log_3 y)}=y^{\log_3 x}\). Поэтому первое уравнение принимает вид \(3x^{\log_3 y}=27\), откуда \(x^{\log_3 y}=9\).

Подставим \(y=3x\) и обозначим \(t=\log_3 x\). Тогда \(\log_3 y=1+t\), а равенство становится \(3^{t(t+1)}=3^2\). Следовательно, \(t^2+t-2=0\), то есть \((t-1)(t+2)=0\).

При \(t=1\): \(x=3\), \(y=9\). При \(t=-2\): \(x=\frac19\), \(y=\frac13\). Обе пары удовлетворяют системе.

Ответ: \((3;9)\), \(\left(\frac19;\frac13\right)\).