2. Решите задачу (7 баллов). В параллелограмме ABCD из вершины C опущен перпендикуляр CE на сторону AD. Точка M — середина стороны AB. Найдите угол BME, если известно, что CD = 2AD и ∠AEM = 50°.

Обозначим \(AD=a\), а координаты точек выберем так: \(D=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(C=(x,h)\), \(E=(x,0)\). Тогда \(B=(a+x,h)\), а \(M=(a+\frac{x}{2},\frac h2)\).

Так как \(CD=AB=2a\), имеем:

\(x^2+h^2=4a^2\).

Из прямоугольного треугольника, учитывая \(\angle AEM=50^\circ\), получаем:

\(\tan 50^\circ=\frac{h/2}{a-x/2}=\frac{h}{2a-x}\).

Положим \(u=2a-x\). Тогда \(h=u\tan50^\circ\), а из условия на длину \(CD\):

\((2a-u)^2+u^2\tan^2 50^\circ=4a^2\).

После упрощения:

\(u=4a\cos^2 50^\circ\).

Следовательно, \(x=2a-u=2a\cos80^\circ\), а \(h=2a\sin80^\circ\). Поэтому луч \(MB\), параллельный \(AB\), образует с положительным направлением оси угол \(80^\circ\).

Вектор \(\overrightarrow{ME}=(-u/2,-h/2)\) направлен под углом \(230^\circ\), так как угол между ним и отрицательным направлением горизонтали равен \(50^\circ\).

Таким образом, \(\angle BME=230^\circ-80^\circ=150^\circ\).

Ответ: \(150^\circ\).