4. Решите задачу (7 баллов). Докажите, что для положительных чисел a, b и c: ab/c + bc/a + ca/b ≥ a + b + c.

Так как \(a,b,c>0\), можно умножить неравенство на положительное число \(abc\), не меняя его знак:

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)

равносильно

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2\).

Введём \(x=ab\), \(y=bc\), \(z=ca\). Тогда требуемое неравенство принимает вид:

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\).

Это следует из тождества:

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac12\big((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\big)\ge0\).

Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство достигается при \(x=y=z\), то есть при \(a=b=c\).