3. Решите задачу (7 баллов). Таблица 5 × 5 заполнена числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что найдётся столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

Обозначим произведение всех 25 чисел через \(P\).

В каждой из пяти строк произведение отрицательно. Поэтому произведение произведений строк также отрицательно:

\(P=(-)\cdot(-)\cdot(-)\cdot(-)\cdot(-)<0\).

С другой стороны, то же самое число \(P\) равно произведению произведений чисел в пяти столбцах.

Если бы произведение в каждом столбце было неотрицательным, то их общее произведение было бы неотрицательным, что противоречит условию \(P<0\).

Следовательно, хотя бы в одном столбце произведение чисел отрицательно.

Ответ: такой столбец обязательно существует.