5. Решите задачу (7 баллов). Можно ли равносторонний треугольник разрезать на равносторонние треугольники и раскрасить их в синий и красный цвет так, чтобы тех и других треугольников было поровну, причём треугольники одинакового цвета были одинакового размера, а треугольники разного цвета — разного размера?

Да, можно.

Разобьём исходный равносторонний треугольник на 25 равных равносторонних треугольников со стороной \(L/5\), где \(L\) — сторона исходного треугольника.

Выберем любые 5 из полученных треугольников и каждый из них разделим на 4 равных равносторонних треугольника. Сторона каждого нового треугольника будет равна \(L/10\).

В результате получим:

• \(25-5=20\) треугольников со стороной \(L/5\);
• \(5\cdot4=20\) треугольников со стороной \(L/10\).

Все 20 больших треугольников раскрасим, например, в синий цвет, а все 20 маленьких — в красный.

Треугольников каждого цвета по 20, треугольники одного цвета имеют одинаковый размер, а размеры треугольников разных цветов различны.

Ответ: да, можно.