2. Рис. 773. Дано: AB: BC=1:2; AC=5√5. Доказать: ABCD - прямоугольник. Найти: AB, BC.

Дано:

• ABCD - четырехугольник, вписанный в окружность.
• AB : BC = 1 : 2
• AC = 5√5

Доказать: ABCD - прямоугольник.

Найти: AB, BC.

Доказательство:

1. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: Сумма противоположных углов равна 180°.
2. Свойство прямоугольника: Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
3. Свойство вписанного прямоугольного треугольника: Если треугольник вписан в окружность, и одна из его сторон является диаметром, то этот треугольник прямоугольный.
4. Так как ABCD — вписанный четырехугольник, то ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°.
5. Из условия AB : BC = 1 : 2, пусть AB = x, тогда BC = 2x.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (если ABCD прямоугольник, то ∠ABC = 90°). По теореме Пифагора: AC² = AB² + BC²
7. Подставим значения: (5√5)² = x² + (2x)²
8. 125 = x² + 4x²
9. 125 = 5x²
10. x² = 25
11. x = 5 (так как длина стороны не может быть отрицательной)
12. Значит, AB = 5.
13. BC = 2x = 2 * 5 = 10.
14. В треугольнике ABC, AC² = 125, AB² + BC² = 5² + 10² = 25 + 100 = 125.
15. Так как AC² = AB² + BC², то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC прямоугольный, и ∠ABC = 90°.
16. Аналогично, в треугольнике ADC, если ABCD — прямоугольник, то ∠ADC = 90°.
17. Если ∠ABC = 90°, то опирается на полуокружность, значит AC — диаметр.
18. Если AC — диаметр, то вписанный угол ∠ADC = 90°.
19. Если ∠ABC = 90° и ∠ADC = 90°, то сумма противоположных углов равна 180°.
20. Аналогично, если вписать треугольники ABD и BCD, мы можем показать, что ∠BAD = 90° и ∠BCD = 90°.
21. Следовательно, все углы четырехугольника ABCD равны 90°, что означает, что ABCD — прямоугольник.

Ответ: AB = 5, BC = 10.