4. Рис. 775. Дано: ДАВС - равносторонний, ОК = 3 см. Найти: АВ.

Решение:

На рисунке 775 изображен равносторонний треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. OK — перпендикуляр, опущенный из центра окружности O на сторону AC.

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

OK — это апофема (радиус вписанной окружности), а OC — радиус описанной окружности.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности (R) в два раза больше радиуса вписанной окружности (r). То есть, OC = 2 * OK.

По условию OK = 3 см. Следовательно, OC = 2 * 3 = 6 см. OC — это радиус описанной окружности.

Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

где R — радиус описанной окружности, а — сторона треугольника.

В нашем случае R = OC = 6 см.

\[ 6 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

\[ a = 6 \sqrt{3} \]

Значит, сторона AB (или BC, AC) равна 6√3 см.

Ответ: 6√3 см