7. Рис. 778. Найти углы четырехугольника ABCD.

Решение:

На рисунке 778 изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Известны углы ∠CAD = 70° и ∠BAC = 80°.

1. Найдем ∠BAD:

Угол ∠BAD состоит из углов ∠CAD и ∠BAC.

∠BAD = ∠CAD + ∠BAC = 70° + 80° = 150°.

2. Найдем углы, опирающиеся на те же дуги:

Угол ∠BCD вписан и опирается на дугу BAD. Центральный угол, опирающийся на дугу BAD, равен 2 * ∠BCD. Но нам легче использовать свойство вписанного четырехугольника.

В четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

3. Найдем ∠BCD:

∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 150° = 30°.

4. Найдем ∠ABC:

Угол ∠ABC вписан и опирается на дугу ADC.

Угол ∠ADC вписан и опирается на дугу ABC.

Угол ∠ABC опирается на дугу ADC. Центральный угол, опирающийся на дугу ADC, равен ∠AOC (больший). Или проще: ∠ABC = 1/2 * (360° - ∠AOC).

Рассмотрим дуги:

Угол ∠CAD = 70° опирается на дугу CD. Значит, центральный угол ∠COD = 2 * 70° = 140°.

Угол ∠BAC = 80° опирается на дугу BC. Значит, центральный угол ∠BOC = 2 * 80° = 160°.

Центральный угол ∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 140° + 160° = 300° (это большой угол). Меньший угол ∠BOD = 360° - 300° = 60°.

Угол ∠ABC вписан и опирается на дугу ADC. Дуга ADC = Дуга AD + Дуга DC. Мы не знаем дугу AD.

Давайте найдем ∠ADC. Угол ∠ADC опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC.

Угол ∠ABD опирается на дугу AD.

Угол ∠CBD опирается на дугу CD.

Угол ∠ABD = Угол ∠ACD (опираются на дугу AD).

Угол ∠CBD = Угол ∠CAD = 70° (опираются на дугу CD).

Угол ∠BAC = Угол ∠BDC = 80° (опираются на дугу BC).

Теперь в треугольнике BCD:

∠CBD = 70°

∠BDC = 80°

∠BCD = 180° - (70° + 80°) = 180° - 150° = 30°. (Это совпадает с нашим предыдущим расчетом).

Теперь найдем ∠ABC:

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Нам нужно найти ∠ABD.

Угол ∠ABD опирается на дугу AD. Нам нужно найти дугу AD.

Угол ∠AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD.

Угол ∠ACD опирается на дугу AD. ∠ABD = ∠ACD.

В прямоугольном треугольнике ABD (если бы он был прямоугольным) угол ∠BAD = 150°, что невозможно.

Давайте еще раз проверим углы, опирающиеся на дуги:

Угол ∠CAD = 70° -> дуга CD = 140°.

Угол ∠BAC = 80° -> дуга BC = 160°.

Угол ∠BAD = 70° + 80° = 150°.

Угол ∠BCD = 180° - 150° = 30°.

Угол ∠ABC опирается на дугу ADC. Дуга ADC = Дуга AD + Дуга DC. Нам нужно найти дугу AD.

Угол ∠ADC опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC. Дуга BC = 160°.

Угол ∠ABD опирается на дугу AD.

Угол ∠CBD = 70° (опирается на дугу CD).

Угол ∠BDC = 80° (опирается на дугу BC).

В треугольнике BCD: ∠CBD = 70°, ∠BDC = 80°, ∠BCD = 30°.

Теперь нам нужно найти ∠ABD.

Угол ∠ABD = Угол ∠ACD (опираются на дугу AD).

Угол ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Мы знаем ∠CBD = 70°.

Угол ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC. Мы знаем ∠BDC = 80°.

Сумма дуг окружности = 360°.

Дуга CD = 140°

Дуга BC = 160°

Дуга AB + Дуга AD = 360° - 140° - 160° = 60°.

Угол ∠ABC опирается на дугу ADC. Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD = Дуга AD + 140°.

Угол ∠ABC = 1/2 * (Дуга AD + 140°).

Угол ∠ADC опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = Дуга AB + 160°.

Угол ∠ADC = 1/2 * (Дуга AB + 160°).

Мы знаем, что ∠ABC + ∠ADC = 180°.

1/2 * (Дуга AD + 140°) + 1/2 * (Дуга AB + 160°) = 180°

Дуга AD + 140° + Дуга AB + 160° = 360°

Дуга AD + Дуга AB + 300° = 360°

Дуга AD + Дуга AB = 60°.

Это совпадает с нашим предыдущим расчетом.

Теперь нам нужно найти ∠ABD или ∠ADB.

Угол ∠ABD = Угол ∠ACD. Нам нужно найти ∠ACD. Мы знаем ∠BCD = 30°.

Угол ∠ADB = Угол ∠ACB. Мы знаем ∠ACB = ?

Угол ∠ACB опирается на дугу AB. Дуга AB = ?

Угол ∠ADB опирается на дугу AB.

В треугольнике ABD:

∠BAD = 150°

∠ABD + ∠ADB = 180° - 150° = 30°.

∠ABD = 1/2 * Дуга AD

∠ADB = 1/2 * Дуга AB

1/2 * Дуга AD + 1/2 * Дуга AB = 30°

Дуга AD + Дуга AB = 60°. Это совпадает.

Нам нужно найти значения Дуги AD и Дуги AB.

Мы знаем, что ∠BAC = 80°, опирается на дугу BC = 160°.

∠CAD = 70°, опирается на дугу CD = 140°.

∠ABC опирается на дугу ADC = Дуга AD + Дуга CD = Дуга AD + 140°.

∠ADC опирается на дугу ABC = Дуга AB + Дуга BC = Дуга AB + 160°.

∠ABC + ∠ADC = 180°.

Угол ∠ABC = 180° - ∠ADC.

1/2 * (Дуга AD + 140°) = 180° - 1/2 * (Дуга AB + 160°)

Дуга AD + 140° = 360° - (Дуга AB + 160°)

Дуга AD + 140° = 360° - Дуга AB - 160°

Дуга AD + Дуга AB = 360° - 140° - 160° = 60°.

Это не помогает найти отдельные дуги.

Давайте найдем углы, опирающиеся на дугу AD и дугу AB.

Угол ∠ABD опирается на дугу AD.

Угол ∠ADB опирается на дугу AB.

В треугольнике ABC:

∠BAC = 80°

∠BCA = ?

∠CBA = ?

Угол ∠ABC = 180° - ∠ADC.

Угол ∠ABC = 180° - (∠ADB + ∠BDC) = 180° - (∠ADB + 80°).

Угол ∠ADC = 180° - ∠ABC.

Угол ∠ADC = 180° - (∠ABD + ∠CBD) = 180° - (∠ABD + 70°).

Значит, 180° - (∠ADB + 80°) = 180° - (∠ABD + 70°).

-∠ADB - 80° = -∠ABD - 70°

∠ABD - ∠ADB = 10°.

Мы также знаем, что ∠ABD + ∠ADB = 30° (из треугольника ABD).

Решим систему:

∠ABD - ∠ADB = 10°

∠ABD + ∠ADB = 30°

Сложим уравнения:

2∠ABD = 40° => ∠ABD = 20°.

Подставим в второе уравнение:

20° + ∠ADB = 30° => ∠ADB = 10°.

Теперь мы можем найти ∠ABC и ∠ADC.

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 20° + 70° = 90°.

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 10° + 80° = 90°.

Проверка: ∠ABC + ∠ADC = 90° + 90° = 180°. Верно.

Итоговые углы:

∠BAD = 150°

∠ABC = 90°

∠BCD = 30°

∠ADC = 90°

Ответ: ∠BAD = 150°, ∠ABC = 90°, ∠BCD = 30°, ∠ADC = 90°.