3. Рис. 774. Дано: MN=NK = 4. Найти: ОК.

Решение:

На рисунке 774 изображена окружность с центром O. MN и NK — хорды окружности.

По условию MN = NK = 4.

Центральный угол ∠MON = ∠NOK (так как опираются на равные хорды).

Также, ∠MNK = 120°.

Угол ∠MNK является вписанным углом, опирающимся на дугу MK.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу MK, равен ∠MOK.

Связь между вписанным и центральным углом: ∠MOK = 2 * ∠MNK.

∠MOK = 2 * 120° = 240°.

Обратите внимание, что угол ∠MOK, который мы находим как центральный, опирается на большую дугу MK. Меньший угол ∠MOK равен 360° - 240° = 120°.

Рассмотрим треугольник MON. Так как MN = 4, и это хорда, то для нахождения OK, нам нужно понять, что такое OK. OK - это радиус окружности.

Рассмотрим треугольник MNK. Мы знаем, что MN = NK = 4 и ∠MNK = 120°.

Можно найти MK по теореме косинусов:

MK² = MN² + NK² - 2 * MN * NK * cos(120°)

MK² = 4² + 4² - 2 * 4 * 4 * (-1/2)

MK² = 16 + 16 - 32 * (-1/2)

MK² = 32 + 16 = 48

MK = √48 = 4√3.

Теперь рассмотрим треугольник MOK. OK — радиус (R). OM = OK = R.

Центральный угол ∠MOK = 120°.

По теореме косинусов для треугольника MOK:

MK² = OM² + OK² - 2 * OM * OK * cos(120°)

(4√3)² = R² + R² - 2 * R * R * (-1/2)

48 = 2R² - 2R² * (-1/2)

48 = 2R² + R²

48 = 3R²

R² = 16

R = 4.

Значит, OK = 4.

Ответ: 4