2. Степень с действительным показателем и ее свойства.

2. Степень с действительным показателем

Определение: Степенью с действительным показателем \( a^x \) называется число, которое является пределом последовательности \( a^{x_n} \), где \( x_n \) — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к \( x \), при условии, что \( a > 0 \).

Свойства степеней с действительным показателем:

Пусть \( a > 0 \) и \( b > 0 \), а \( x \) и \( y \) — действительные числа.

1. Произведение степеней с одинаковыми основаниями: \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \)
2. Частное от деления степеней с одинаковыми основаниями: \( \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \)
3. Возведение степени в степень: \( (a^x)^y = a^{xy} \)
4. Возведение произведения в степень: \( (ab)^x = a^x b^x \)
5. Возведение частного в степень: \( \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} \)
6. Сравнение основания и результата возведения в степень:
   • Если \( a > 1 \) и \( x > y \), то \( a^x > a^y \).
   • Если \( 0 < a < 1 \) и \( x > y \), то \( a^x < a^y \).
7. Степень с нулевым показателем: \( a^0 = 1 \) для любого \( a > 0 \).
8. Степень с отрицательным показателем: \( a^{-x} = \frac{1}{a^x} \) для любого \( a > 0 \).