5. Монотонность функций. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремум функций. Чётность и нечётность, периодичность функций.

5. Основные свойства функций

Монотонность функций:

• Возрастающая функция: Функция \( f(x) \) называется возрастающей на интервале, если для любых \( x_1 \) и \( x_2 \) из этого интервала таких, что \( x_1 < x_2 \), выполняется условие \( f(x_1) < f(x_2) \).
• Убывающая функция: Функция \( f(x) \) называется убывающей на интервале, если для любых \( x_1 \) и \( x_2 \) из этого интервала таких, что \( x_1 < x_2 \), выполняется условие \( f(x_1) > f(x_2) \).

Наибольшее и наименьшее значения функции:

• Наибольшее значение: Число \( M \) называется наибольшим значением функции \( f(x) \) на промежутке, если существует \( x_0 \) из этого промежутка такое, что \( f(x_0) = M \), и для любого \( x \) из этого промежутка выполняется \( f(x) \le M \).
• Наименьшее значение: Число \( m \) называется наименьшим значением функции \( f(x) \) на промежутке, если существует \( x_0 \) из этого промежутка такое, что \( f(x_0) = m \), и для любого \( x \) из этого промежутка выполняется \( f(x) \ge m \).

Экстремумы функций (локальные максимумы и минимумы):

• Точка максимума: Точка \( x_0 \), в которой функция достигает своего максимального значения в некоторой окрестности этой точки.
• Точка минимума: Точка \( x_0 \), в которой функция достигает своего минимального значения в некоторой окрестности этой точки.
• Экстремумы: Максимумы и минимумы функции.

Чётность и нечётность функций:

• Чётная функция: Функция \( f(x) \) называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого \( x \) из области определения выполняется \( f(-x) = f(x) \). График чётной функции симметричен относительно оси \( Oy \).
• Нечётная функция: Функция \( f(x) \) называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого \( x \) из области определения выполняется \( f(-x) = -f(x) \). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Периодичность функций:

• Периодическая функция: Функция \( f(x) \) называется периодической, если существует такое число \( T
  e 0 \) (период функции), что для любого \( x \) из области определения выполняется \( f(x+T) = f(x) \). Наименьшее положительное число \( T \) называется основным периодом функции.