7. Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения и неравенства, способы их решения.

7. Показательная функция

Определение: Показательной функцией называется функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1 (т.е. \( a > 0, a
e 1 \)).

Свойства показательной функции:

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = (0; +\infty) \).
• Проходит через точку (0; 1).
• Чередование возрастания/убывания:
  • Если \( a > 1 \), функция возрастает на всей области определения.
  • Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает на всей области определения.
• График: График проходит через точку \( (0; 1) \). При \( a > 1 \) график стремится к оси \( Ox \) при \( x \to -\infty \) и неограниченно возрастает при \( x \to +\infty \). При \( 0 < a < 1 \) график стремится к оси \( Ox \) при \( x \to +\infty \) и неограниченно возрастает при \( x \to -\infty \).

Показательные уравнения: Уравнения, в которых неизвестное входит в показатель степени. Решаются приведением к одному основанию:

\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) \( \implies \) \( f(x) = g(x) \).

Показательные неравенства: Неравенства, в которых неизвестное входит в показатель степени. Решаются аналогично уравнениям, но с учётом монотонности функции:

• Если \( a > 1 \): \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) \( \implies \) \( f(x) > g(x) \).
• Если \( 0 < a < 1 \): \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) \( \implies \) \( f(x) < g(x) \).