6. Степенная функция, ее свойства и график.

6. Степенная функция

Определение: Степенной функцией называется функция вида \( y = x^n \), где \( n \) — действительное число.

Свойства степенной функции зависят от показателя степени \( n \):

1. Если \( n \) — натуральное число:

• \( n \) — чётное натуральное число (например, \( y = x^2, y = x^4 \)):
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  • Функция чётная.
  • Возрастает на \( [0; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; 0] \).
  • График — парабола.
• \( n \) — нечётное натуральное число (например, \( y = x^1, y = x^3 \)):
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Функция нечётная.
  • Возрастает на \( (-\infty; +\infty) \).
  • График — кубическая парабола (или гипербола для \( n = -1, -3, ... \)).

2. Если \( n \) — отрицательное целое число (например, \( y = x^{-1} = \frac{1}{x} \)):

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Если \( n \) — отрицательное чётное, функция чётная. Если \( n \) — отрицательное нечётное, функция нечётная.
• Возрастает или убывает на каждом из интервалов \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \) в зависимости от \( n \).
• График — гипербола.

3. Если \( n \) — дробное число (например, \( y = \sqrt{x} = x^{1/2} \)):

• Свойства зависят от числителя и знаменателя дроби \( n \).
• Область определения и множество значений также зависят от \( n \).