2. Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см, а разность его высот равна 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Дано:

• Параллелограмм.
• Сторона a = 16 см.
• Сторона b = 12 см.
• Разность высот \(h_a - h_b = 3\) см.

Найти: Площадь параллелограмма S.

Решение:

1. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \(S = a \times h_a\) или \(S = b \times h_b\).
2. Из этого следует, что \(a \times h_a = b \times h_b\).
3. Подставим известные значения: \(16 \times h_a = 12 \times h_b\).
4. Выразим одну высоту через другую: \(h_b = \frac{16}{12} h_a = \frac{4}{3} h_a\).
5. Мы знаем, что \(h_a - h_b = 3\). Подставим выражение для \(h_b\): \(h_a - \frac{4}{3} h_a = 3\).
6. Приведем к общему знаменателю: \(\frac{3h_a - 4h_a}{3} = 3\)
7. \(\frac{-h_a}{3} = 3\)
8. \(h_a = -9\). Этот результат невозможен, так как высота не может быть отрицательной. Давайте проверим условие: разность высот равна 3 см. Возможно, \(h_b - h_a = 3\).
9. Если \(h_b > h_a\), то \(h_b = h_a + 3\).
10. Подставим в равенство \(16 \times h_a = 12 \times h_b\): \(16h_a = 12(h_a + 3)\)
11. \(16h_a = 12h_a + 36\)
12. \(16h_a - 12h_a = 36\)
13. \(4h_a = 36\)
14. \(h_a = 9\) см.
15. Теперь найдем \(h_b\): \(h_b = h_a + 3 = 9 + 3 = 12\) см.
16. Проверим: \(16 \times 9 = 144\) и \(12 \times 12 = 144\). Значит, высоты найдены верно.
17. Найдем площадь параллелограмма: \(S = a \times h_a = 16 \times 9 = 144\) см² (или \(S = b \times h_b = 12 \times 12 = 144\) см²).

Ответ: 144 см²