3. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол 60°, а высота трапеции равна 6√3 см. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Дано:

• Трапеция равнобокая.
• Угол при основании 60°.
• Высота \(h = 6\sqrt{3}\) см.
• В трапецию вписана окружность.

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Свойство трапеции, в которую вписана окружность: Сумма длин противоположных сторон равна. В равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна удвоенной боковой стороне: \(a + b = 2c\), где a и b — основания, c — боковая сторона.
2. Найдем боковую сторону (c). Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком нижнего основания, угол при основании равен 60°, а противолежащий катет (высота) равен \(6\sqrt{3}\) см.
3. Используем тригонометрию: \(\sin(60^\circ) = \frac{высота}{боковая сторона}\)
4. \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{c}\)
5. \(c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)
6. \(c = \frac{6\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 12\) см.
7. Теперь найдем основания (a и b). Сумма оснований равна удвоенной боковой стороне: \(a + b = 2c = 2 \times 12 = 24\) см.
8. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{a+b}{2} \times h\).
9. Подставим значения: \(S = \frac{24}{2} \times 6\sqrt{3} = 12 \times 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\) см².

Ответ: 72√3 см²