4. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°).
• CD — биссектриса угла C.
• CD делит гипотенузу AB.
• (Предполагаем, что биссектриса делит гипотенузу, так как в условии сказано 'острого угла', а в прямоугольном треугольнике острые углы — это углы при вершинах A и B. Если бы биссектриса делила катет, то она бы исходила из прямого угла.)
• Пусть биссектриса проведена из угла A, тогда она делит катет BC.
• Отрезки катета BC: BD = 6 см, DC = 10 см (или наоборот).

Найти: Площадь треугольника ABC.

Решение:

Вариант 1: Биссектриса делит катет (из угла C).

Если биссектриса проведена из прямого угла C и делит гипотенузу AB на отрезки AD = 6 см и DB = 10 см, то по свойству биссектрисы:

\(\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

Пусть AC = 3x, BC = 5x. По теореме Пифагора:

\((3x)^2 + (5x)^2 = (6+10)^2\)

\(9x^2 + 25x^2 = 16^2\)

\(34x^2 = 256\)

\(x^2 = \frac{256}{34} = \frac{128}{17}\)

\(x = \sqrt{\frac{128}{17}} = 8\sqrt{\frac{2}{17}}\)

AC = \(3x = 24\sqrt{\frac{2}{17}}\)

BC = \(5x = 40\sqrt{\frac{2}{17}}\)

Площадь \(S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times (3x) \times (5x) = \frac{15}{2} x^2 = \frac{15}{2} \times \frac{128}{17} = 15 \times \frac{64}{17} = \frac{960}{17}\) см².

Вариант 2: Биссектриса острого угла (например, из угла A) делит противоположный катет BC.

Пусть биссектриса AL делит катет BC на отрезки BL = 6 см и LC = 10 см. По свойству биссектрисы:

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

Пусть AB = 3x, AC = 5x. В прямоугольном треугольнике ABC:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

\((3x)^2 + (5x)^2 = (6+10)^2\)

\(9x^2 + 25x^2 = 16^2\)

\(34x^2 = 256\)

\(x^2 = \frac{256}{34} = \frac{128}{17}\)

AB = \(3\sqrt{\frac{128}{17}}\)

AC = \(5\sqrt{\frac{128}{17}}\)

Площадь \(S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times (3x) \times (5x) = \frac{15}{2} x^2 = \frac{15}{2} \times \frac{128}{17} = \frac{960}{17}\) см².

Вариант 3: Биссектриса острого угла (например, из угла B) делит противоположный катет AC.

Пусть биссектриса BK делит катет AC на отрезки AK = 6 см и KC = 10 см. По свойству биссектрисы:

\(\frac{AB}{BC} = \frac{AK}{KC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

Пусть AB = 3x, BC = 5x. В прямоугольном треугольнике ABC:

\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)

\((3x)^2 + (5x)^2 = (6+10)^2\)

\(9x^2 + 25x^2 = 16^2\)

\(34x^2 = 256\)

\(x^2 = \frac{256}{34} = \frac{128}{17}\)

AB = \(3\sqrt{\frac{128}{17}}\)

BC = \(5\sqrt{\frac{128}{17}}\)

Площадь \(S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times (3x) \times (5x) = \frac{15}{2} x^2 = \frac{15}{2} \times \frac{128}{17} = \frac{960}{17}\) см².

Уточнение условия: В условии сказано, что биссектриса делит катет. Это означает, что биссектриса проведена из острого угла и делит противолежащий катет. Рассмотрим этот случай (Вариант 2 или 3, они идентичны по сути, различается только обозначение углов).

Пусть биссектриса проведена из угла A и делит катет BC на отрезки BD = 6 см и DC = 10 см.

По свойству биссектрисы: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).

Пусть AB = 3x, AC = 5x.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

\((3x)^2 + (5x)^2 = (6+10)^2\)

\(9x^2 + 25x^2 = 16^2\)

\(34x^2 = 256\)

\(x^2 = \frac{256}{34} = \frac{128}{17}\)

Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \times AB \times AC\)

\(S = \frac{1}{2} \times (3x) \times (5x) = \frac{15}{2} x^2\)

\(S = \frac{15}{2} \times \frac{128}{17} = 15 \times \frac{64}{17} = \frac{960}{17}\) см².

\(\frac{960}{17} ≈ 56.47\) см².

Ответ: ⅖\(\frac{960}{17}\) см²