5. Площадь треугольника АВС равна 30 см². На стороне АВ отметили точку Р так, что АР : PB = 1 : 4. Отрезок СР пересекает медиану AD в точке К. Найдите площадь треугольника АКР.

Дано:

• Площадь треугольника \(S_{ABC} = 30\) см².
• Точка P на стороне AB, \(AP : PB = 1 : 4\).
• AD — медиана (D — середина BC).
• CP пересекает AD в точке K.

Найти: Площадь треугольника \(S_{AKP}\).

Решение:

1. Найдем отношение сторон AB. Так как \(AP : PB = 1 : 4\), то \(AP = \frac{1}{1+4} AB = \frac{1}{5} AB\) и \(PB = \frac{4}{5} AB\).
2. Найдем площадь треугольника APC. Треугольники ABC и APC имеют общую высоту, проведенную из вершины C. Отношение их площадей равно отношению оснований:
3. \(S_{APC} = \frac{AP}{AB} \times S_{ABC} = \frac{1}{5} \times 30 = 6\) см².
4. Рассмотрим треугольник ABD. Так как AD — медиана, то \(BD = DC\) и \(S_{ABD} = S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 30 = 15\) см².
5. Применим теорему Фалеса или метод площадей для нахождения отношения AK : KD.
6. Рассмотрим треугольник ABС и прямую CP, пересекающую стороны AB и AD.
7. Можно использовать теорему Менелая для треугольника AB D и прямой KPC:
8. \(\frac{AK}{KD} \times \frac{DC}{CB} \times \frac{BP}{PA} = 1\)
9. Так как D — середина BC, то \(DC = \frac{1}{2} CB\), следовательно \(\frac{DC}{CB} = \frac{1}{2}\).
10. \(AP : PB = 1 : 4\), значит \(\frac{BP}{PA} = \frac{4}{1} = 4\).
11. Подставим в теорему Менелая:
12. \(\frac{AK}{KD} \times \frac{1}{2} \times 4 = 1\)
13. \(\frac{AK}{KD} \times 2 = 1\)
14. \(\frac{AK}{KD} = \frac{1}{2}\)
15. Это означает, что \(AK = \frac{1}{1+2} AD = \frac{1}{3} AD\) и \(KD = \frac{2}{3} AD\).
16. Найдем площадь треугольника AKP. Треугольники APC и AKP имеют общую высоту, проведенную из вершины P. Отношение их площадей равно отношению оснований:
17. \(S_{AKP} = \frac{AK}{AD} \times S_{APC}\)
18. \(S_{AKP} = \frac{1}{3} \times 6 = 2\) см².

Ответ: 2 см²