Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
- Обозначим собственную скорость теплохода как \( v \) и скорость течения реки как \( u \).
- Из условия известно, что \( v = 18 \) км/ч.
- Время движения по течению: \( t_1 = \frac{50}{v + u} = \frac{50}{18 + u} \) ч.
- Время движения против течения: \( t_2 = \frac{8}{v - u} = \frac{8}{18 - u} \) ч.
- Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 3 \) ч.
- Составим уравнение: \( \frac{50}{18 + u} + \frac{8}{18 - u} = 3 \).
- Приведем к общему знаменателю: \( 50(18 - u) + 8(18 + u) = 3(18 + u)(18 - u) \).
- Раскроем скобки: \( 900 - 50u + 144 + 8u = 3(324 - u^2) \).
- Упростим: \( 1044 - 42u = 972 - 3u^2 \).
- Перенесем все в одну сторону: \( 3u^2 - 42u + 1044 - 972 = 0 \).
- \( 3u^2 - 42u + 72 = 0 \).
- Разделим на 3: \( u^2 - 14u + 24 = 0 \).
- Решим квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант): \( u_1 = 2 \), \( u_2 = 12 \).
- Скорость течения не может быть равна собственной скорости, иначе движение против течения невозможно. Проверим оба корня:
- Если \( u = 2 \) км/ч: \( t_1 = \frac{50}{18 + 2} = \frac{50}{20} = 2.5 \) ч; \( t_2 = \frac{8}{18 - 2} = \frac{8}{16} = 0.5 \) ч. Общее время: \( 2.5 + 0.5 = 3 \) ч. Это подходит.
- Если \( u = 12 \) км/ч: \( t_1 = \frac{50}{18 + 12} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \) ч; \( t_2 = \frac{8}{18 - 12} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) ч. Общее время: \( \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3 \) ч. Это тоже подходит.
- В условии задачи нет дополнительных ограничений, но обычно в таких задачах подразумевается, что скорость течения меньше скорости теплохода. Проверим, чтобы скорость против течения была положительной. Оба корня удовлетворяют этому условию. Однако, если скорость течения 12 км/ч, то время против течения составляет \( \frac{4}{3} \) часа, что меньше времени по течению \( \frac{5}{3} \) часа. Если скорость течения 2 км/ч, то время по течению 2.5 часа, а против течения 0.5 часа. В контексте подобных задач, когда не указано иное, меньшая скорость течения часто является предпочтительным ответом, но оба математически верны. Давайте выберем меньшую, как более реалистичную для примера, и более соответствующую стандартным задачам.
Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.
