3. Два автомата должны были изготовить по 180 деталей. Первый автомат изготовлял в час на 2 детали больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 3 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в час каждый автомат?

Решение:

1. Обозначим производительность второго автомата как \( x \) деталей в час.
2. Тогда производительность первого автомата равна \( x + 2 \) деталей в час.
3. Время, которое потребовалось второму автомату для изготовления 180 деталей: \( t_2 = \frac{180}{x} \) ч.
4. Время, которое потребовалось первому автомату для изготовления 180 деталей: \( t_1 = \frac{180}{x + 2} \) ч.
5. По условию, первый автомат закончил работу на 3 часа раньше второго, то есть \( t_2 - t_1 = 3 \).
6. Составим уравнение: \( \frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 3 \).
7. Приведем к общему знаменателю: \( 180(x + 2) - 180x = 3x(x + 2) \).
8. Раскроем скобки: \( 180x + 360 - 180x = 3x^2 + 6x \).
9. Упростим: \( 360 = 3x^2 + 6x \).
10. Перенесем все в одну сторону: \( 3x^2 + 6x - 360 = 0 \).
11. Разделим на 3: \( x^2 + 2x - 120 = 0 \).
12. Решим квадратное уравнение (по теореме Виета): \( x_1 + x_2 = -2 \), \( x_1 · x_2 = -120 \).
13. Подбираем корни: \( x_1 = 10 \), \( x_2 = -12 \).
14. Так как производительность не может быть отрицательной, \( x = 10 \) деталей в час — производительность второго автомата.
15. Производительность первого автомата: \( x + 2 = 10 + 2 = 12 \) деталей в час.
16. Проверим: время второго автомата \( \frac{180}{10} = 18 \) ч. Время первого автомата \( \frac{180}{12} = 15 \) ч. Разница во времени \( 18 - 15 = 3 \) ч, что соответствует условию.

Ответ: Второй автомат изготовлял 10 деталей в час, первый — 12 деталей в час.