2. Точки P и E лежат соответственно на сторонах BC и DC параллелограмма ABCD так, что BP = PC и DE : EC = 1 : 2. Выразите через векторы \(\vec m=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec n=\overrightarrow{AD}\) векторы \(\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{DP}, \overrightarrow{BE}, \overrightarrow{PE}\).

Положим начало отсчёта в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec m\), \(\overrightarrow{AD}=\vec n\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec m+\vec n\).

P — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{AP}=\vec m+\frac12\vec n\).

Так как DE : EC = 1 : 2, точка E делит DC в отношении 1:2 от D к C. Следовательно, \(\overrightarrow{AE}=\vec n+\frac13\vec m\).

Вычитаем радиус-векторы концов:

• \(\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}=\vec m-\frac12\vec n\);
• \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\vec n-\frac23\vec m\);
• \(\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP}=-\frac23\vec m+\frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{AP}=\vec m+\frac12\vec n\), \(\overrightarrow{AE}=\frac13\vec m+\vec n\), \(\overrightarrow{DP}=\vec m-\frac12\vec n\), \(\overrightarrow{BE}=\vec n-\frac23\vec m\), \(\overrightarrow{PE}=-\frac23\vec m+\frac12\vec n\).