2. Упростить выражение: \(\frac{2a + 2b}{b} \cdot \left( \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} \right)\).

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках:

\(\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{(a+b) - (a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2}\)

Теперь умножим результат на первое выражение:

\(\frac{2a + 2b}{b} \cdot \frac{2b}{a^2-b^2} = \frac{2(a+b)}{b} \cdot \frac{2b}{a^2-b^2}\)

Сократим \(b\):

\(\frac{2(a+b)}{1} \cdot \frac{2}{a^2-b^2}\)

Разложим знаменатель \(a^2-b^2\) как разность квадратов: \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\).

\(\frac{2(a+b)}{1} \cdot \frac{2}{(a-b)(a+b)}\)

Сократим \((a+b)\):

\(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{a-b} = \frac{4}{a-b}\)

Ответ: \(\frac{4}{a-b}\).