2) Упростите выражение: а) 0,2a¹²b⁻⁹ ⋅ 50a⁻¹⁰b¹⁰; б) (\(\frac{a+2}{a-2}\) + \(\frac{a-2}{a+2}\)) : \(\frac{a^2+4}{4-a^2}\)

Решение:

а) Упрощение выражения с степенями:

1. Перемножим числовые коэффициенты: \( 0.2 \cdot 50 = 10 \)
2. Сложим степени с одинаковым основанием \( a \): \( a^{12} \cdot a^{-10} = a^{12-10} = a^2 \)
3. Сложим степени с одинаковым основанием \( b \): \( b^{-9} \cdot b^{10} = b^{-9+10} = b^1 = b \)
4. Объединим полученные результаты: \( 10a^2b \)

б) Упрощение дробно-алгебраического выражения:

1. Приведем к общему знаменателю сумму дробей в первых скобках: \( \frac{a+2}{a-2} + \frac{a-2}{a+2} = \frac{(a+2)^2 + (a-2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4} = \frac{2a^2 + 8}{a^2 - 4} = \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \)
2. Заменим вычитание умножением на обратную дробь: \( \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} : \frac{a^2+4}{4-a^2} = \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \cdot \frac{4-a^2}{a^2+4} \)
3. Сократим дробь, учитывая, что \( 4-a^2 = -(a^2-4) \): \( \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \cdot \frac{-(a^2-4)}{a^2+4} = -2 \)

Ответ: а) \( 10a^2b \); б) -2.