2. Упростите выражение: a) (2m-3n)(2m+3n) - (m-3n)²

Задание 2а. Упрощение выражения

Нужно упростить выражение: $$ (2m-3n)(2m+3n) - (m-3n)^2 $$. Для этого будем использовать формулы сокращённого умножения.

1. Раскроем первую скобку:

У нас формула разности квадратов: $$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $$. Здесь $$ a = 2m $$ и $$ b = 3n $$.
Значит, $$ (2m-3n)(2m+3n) = (2m)^2 - (3n)^2 = 4m^2 - 9n^2 $$.

2. Раскроем вторую скобку:

У нас формула квадрата разности: $$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$. Здесь $$ a = m $$ и $$ b = 3n $$.
Значит, $$ (m-3n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3n + (3n)^2 = m^2 - 6mn + 9n^2 $$.

3. Подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

У нас было: $$ (2m-3n)(2m+3n) - (m-3n)^2 $$
Теперь: $$ (4m^2 - 9n^2) - (m^2 - 6mn + 9n^2) $$

4. Раскроем оставшиеся скобки и приведём подобные слагаемые:

ВАЖНО: Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри скобки меняются на противоположные.

$$ 4m^2 - 9n^2 - m^2 + 6mn - 9n^2 $$

Сгруппируем подобные слагаемые:

• Слагаемые с $$m^2$$: $$ 4m^2 - m^2 = 3m^2 $$
• Слагаемые с $$n^2$$: $$ -9n^2 - 9n^2 = -18n^2 $$
• Слагаемые с $$mn$$: $$ +6mn $$

Собираем всё вместе: $$ 3m^2 + 6mn - 18n^2 $$

Ответ: $$3m^2 + 6mn - 18n^2$$