5. Решите уравнение: $$\frac{x+3}{7} - \frac{x-6}{2} = 2 - x$$

Задание 5. Решение уравнения

Нам нужно решить дробно-рациональное уравнение:

$$ \frac{x+3}{7} - \frac{x-6}{2} = 2 - x $$

1. Найдём общий знаменатель для дробей в левой части.

Знаменатели 7 и 2. Общий знаменатель — 14.

2. Приведём дроби к общему знаменателю:

• Первая дробь: $$ \frac{x+3}{7} = \frac{(x+3) \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{2(x+3)}{14} $$
• Вторая дробь: $$ \frac{x-6}{2} = \frac{(x-6) \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7(x-6)}{14} $$

Теперь уравнение выглядит так:

$$ \frac{2(x+3)}{14} - \frac{7(x-6)}{14} = 2 - x $$

3. Раскроем скобки в числителях:

$$ 2(x+3) = 2x + 6 $$

$$ 7(x-6) = 7x - 42 $$

Подставим обратно:

$$ \frac{2x+6}{14} - \frac{7x-42}{14} = 2 - x $$

4. Объединим дроби в левой части:

$$ \frac{(2x+6) - (7x-42)}{14} = 2 - x $$

ВАЖНО: перед второй скобкой стоит минус, поэтому знаки внутри неё меняются.

$$ \frac{2x+6 - 7x + 42}{14} = 2 - x $$

5. Приведём подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(2x - 7x) + (6 + 42)}{14} = 2 - x $$
$$ \frac{-5x + 48}{14} = 2 - x $$

6. Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 14:

$$ -5x + 48 = 14(2 - x) $$

7. Раскроем скобки в правой части:

$$ -5x + 48 = 28 - 14x $$

8. Соберём все слагаемые с $$x$$ в одной части, а числа — в другой:

$$ -5x + 14x = 28 - 48 $$ (перенесли $$14x$$ влево, а 48 вправо с противоположными знаками)
$$ 9x = -20 $$

9. Найдём $$x$$:

$$ x = \frac{-20}{9} $$

Ответ: $$x = -\frac{20}{9}$$