6. Решите уравнение: $$x^3 - 5x^2 - 4x +20=0$$

Задание 6. Решение уравнения

Нам нужно решить кубическое уравнение: $$ x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0 $$.

Попробуем решить методом группировки.

1. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$$ (x^3 - 5x^2) + (-4x + 20) = 0 $$

2. Вынесем общий множитель из каждой группы:

• Из первой группы $$ (x^3 - 5x^2) $$ вынесем $$ x^2 $$: $$ x^2(x - 5) $$
• Из второй группы $$ (-4x + 20) $$ вынесем $$ -4 $$: $$ -4(x - 5) $$

Теперь уравнение выглядит так:

$$ x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0 $$

3. Теперь у нас есть общий множитель $$ (x - 5) $$. Вынесем его за скобки:

$$ (x - 5)(x^2 - 4) = 0 $$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравняем каждый множитель к нулю:

Случай 1: $$ x - 5 = 0 $$

$$ x = 5 $$

Случай 2: $$ x^2 - 4 = 0 $$

Это разность квадратов: $$ x^2 - 2^2 = 0 $$

Используем формулу разности квадратов $$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $$: $$ (x - 2)(x + 2) = 0 $$

Отсюда получаем два корня:

• $$ x - 2 = 0 → x = 2 $$
• $$ x + 2 = 0 → x = -2 $$

5. Объединим все найденные корни:

Уравнение имеет три корня: $$ x = 5 $$, $$ x = 2 $$, $$ x = -2 $$.

Ответ: $$ -2; 2; 5 $$