2. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.

Введём координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C₁(a,a,a), B₁(a,0,a). Направляющий вектор прямой AB₁: (a,0,a). Нормальный вектор плоскости ABC₁ можно взять равным (0,−1,1). Синус угла φ между прямой и плоскостью равен отношению модуля скалярного произведения направляющего и нормального векторов к произведению их длин:

\(\sin\varphi=\dfrac{|(a,0,a)\cdot(0,-1,1)|}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\dfrac{a^2}{2a^2}=\dfrac12\).

Ответ: 30°.