4. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой BB₁ и плоскостью A₁BC.

Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), A₁(0,0,a), B₁(a,0,a). Направляющий вектор BB₁ равен (0,0,a). Нормальный вектор плоскости A₁BC: (B−A₁)×(C−A₁)=(a,0,a). Поэтому для угла φ между прямой и плоскостью:

\(\sin\varphi=\dfrac{|(0,0,a)\cdot(a,0,a)|}{a\cdot a\sqrt{2}}=\dfrac1{\sqrt{2}}\).

Ответ: 45°.